à Séries de Fourier :
(f|g)= ò f(barre).g (sur [a,a+2p ])
Def : Espace de Dirichlet D : ev des applic Rà K, 2p -périod, cont pm, et tq " xÎ R, f(x)=1/2*(fg(x)+fd(x))
(f|g) est un produit scalaire
" kÎ Z, en : Rà C xà einx
(en) orthonormée Pn=Vect(en,e-n) Fn=Vect(ek)-n£ k£ n=Å Pk ( k de 0 à n)
" nÎ N, g n : Rà C xà cos nx g n=1/2*(en+e-n)
" nÎ N*, s n : Rà C xà sin nx s n=1/2*(en-e-n)
Fn=Vect (g 0..g n, s 0... s n)
unÎ Pn Þ un=cnen+c-ne-n un=ang n+bns n
a0=2c0=c0+c-0
" nÎ N, un proj ^ de f sur Pn Sn la proj ^ de f sur Fn
Def : On appelle série de Fourier de f la série de t.g. un de somme partielle Sn
"
nÎ
Z, cn=(en|f)=
"
nÎ
N, an=2(g
n|f)=
"
nÎ
N*, bn=2(s
n|f)=
f paire bn=0 et an=2*[int] ou [int] est l’intégrale " en cos " sur [0,p ]
f impaire an=0 et bn=2*[int’] ou [int’] est l’intégrale " en sin " sur [0,p ]
Ineg de Bessel :
Th Jordan Dirichlet : fÎ D, si f de classe C1 pm la série de Fourier de f cvge simplement vers f sur R
Th : fÎ D, sont équivalents :
Th : fÎ D, si f cont de classe C1 pm la SF CN vers f sur R
Th : " fÎ D, la SF cvge en moy quad vers f sur R, il y a égalité dans l’ineg de Bessel
à Formule de Parseval
à Fonction de plusieurs variables :
L tangente à f au point a Û $ e : Uà Rn tq " xÎ U, f(x)=f(a)+L(x-a)+||x-a||e (x) et lim e (x)=0 qd xà a
Def : aÎ U, f différentiable en a si f possède une applic lin tg en a, noté dfa : différentielle de f en a
Th : si f diff en a, alors f a des dérivées partielles dans ttes les directions : ¶ f(a)/¶ t=dfa(u) Réciproque fausse
Th : si f a sur U des dérivées partielles dans toutes les directions des vect de la base canon. et si les der part. sont continues alors f différentiable sur U
Réciproque fausse
Si f de classe C1 sur U : DL au 1er ordre de f : f(a+h)=f(a)+dfa(h)+||h||.e (h) et lim e (h)=0 qd hà 0
Matrice Jacobienne : Jf(a) : mat de la diff dans les bases canoniques de Rn et Rp
Si n=p, son det est le Jacobien
Composition : d(gof)a=dgf(a)odfa
Jgof(a)=Jg(f(a)).Jf(a)
corollaire : df-1b=[df(f-1(b))]-1
Difféomorphisme :
f Ck-difféomorph de U dans V si f bij de U ds V, de cl Ck sur U et f-1 de cl Ck sur V
ou f Ck-difféomorph Û f injective, de cl Ck sur U et " aÎ U, dfa bij cad Jf(a) de det ¹ 0
Th de Schwarz : f : UÌ R²à R de classe C2, ¶ ²f/(¶ x¶ y)=¶ ²f/(¶ y¶ x)
Gradient : grad f : vect qui repr dfa par prod scalaire " kÎ E, <grad f(a),h>=(daf)(h)
Forme hessienne de f en a : f.q. de mat Ha(f) où Ha(f)=[¶ ²f(a)/¶ xi¶ xj]1£ i£ n et 1£ j£ n
Th : f : UÌ Rnà R de cl C2, " aÎ U,
DL d’ordre 2 de f : f(a+h)=f(a)+dfa(h)+1/2*qaf(h)+||h||²e (h) et lim e (h)=0 qd hà 0
Pt critique : pt où dfa=0 cad " i, ¶ f/¶ xi(a)=0
Cond Nécessaire : pour une fct de cl C1 : extrémas parmi les pts critiques
f de cl C2 a pt critique
si a max qaf(u) est une f.q. £ 0, si a min qaf est une f.q.³ 0
Def : Si qaf ni £ 0 ni ³ 0 alors a point col
Cond Suffisante : qaf def ³ 0 Þ a min, qaf def £ 0 Þ a max
p=¶ f/¶ x q=¶ f/¶ y r=¶ ²f/¶ x² s=¶ ²f/(¶ x¶ y) t=¶ ²f/¶ y² (Notations de Monge)
rt-s²<0 Þ col
rt-s²>0
rt-s²=0 pas de réponse
Th fcts implicites :
f : UÌ (RnxRp)à Rn de cl Ck, (a,b)Î U² tq f(a,b)=0
Si det(¶ f/¶ xi(a,b))¹ 0 alors $ (un voisinage V de b dans Rp et W de a dans Rn, une application j de V ds W de cl Ck tq j (b)=a et (f(x,y)=0, xÎ W, yÎ V) Û x=j (y)
à Equations différentielles :
1er ordre :
Th : sol de y’=ay : dte engendrée par eA où A primitive de a sur I
Méthode de variation des constantes si 2ème membre à voir cours SUP
Th de Cauchy-Lipschitz : $ ! sol avec y(t0)=y0 si f loc. lipsch. par rapport à la 2ème place et cont (ou f est C1).
Eq de Bernoulli : y’=ay+bya a Ï {0,1}
Méthode : Attention si y=0, on pose z=y/ya y’/ya =ay/ya +b z’=(1-a )az+(1-a )b ...
Syst diff linéaires :
X’(t)=A(t)X(t)+B(t)
Th de Cauchy ...
Th : l’ens S0 des sol sur I de X’=AX est un syst fond de sol : (X1...Xn)
Def : Wronskien des sol : W(t)=det (X1(t) ... Xn(t))
Alternative de Wronski : ou W=0 et (X1...Xn) liés ou W jamais nul et (X1..Xn) Syst fond de sol
Th : avec 2ème mb sol de X’=AX+B de la forme S l iXi où l i tq l ’i=b i et S b iXi=B
Th : si A diagonalisable (V1...Vn) base de vect pr de val pr assoc (l 1..l n) alors Xi=Viel i.t
Th : si A non diag, (l 1..l p) val pr distinctes et d’ordre nk
Sol : X=S el k.tWk(t) où Wk fct polyn de deg £ (nk-1)
2ème ordre :
y’’+ay’+by=c Û (z=y’ et z’+az+by=c) Û (y’=z et z’=-by-az+c)
si coef constants : EC ...
sinon z=y/y0 et Z=z’, on se ramène alors à une eq diff du 1er ordre en Z
Pour y0 au flair ou avec une fct polynomiale
Syst autonome : pas de t dans le système
Th de Cauchy ...
Intégrales premières : F int première si (x,y) sol du SD Þ F(x,y)=cste
à Equations différentielles non linéaires :
Th de Cauchy ...
Eq à variables séparables : y’=f(x).g(y) F prim de f, G prim de 1/g
G’(y).y’=F’(x) Þ G(y)=F(x)+c cÎ R
Eq homogène : y’=f(y/x) on pose t=y/x Þ y=tx et y’=t’x+t Þ t’=[f(t)-t]1/x eq à var séparables ...
Passage en ploaires : x=r .cos q et y=r .sin q ...